Cálculo Diferencial 

MATE-1203/4 B

Prerrequisito: Examen de Nivel o Precálculo (MATE-1201)

 

Índice

De qué trata       Contenidos         Bibliografía 
Niveles                
Metodología 
     Sistema Evaluativo    
Objetivos             Texto Guía

Mariposas de MC Escher

De qué trata el curso:

Este curso trata de dos problemas que datan de la antigua Grecia. El primero, ¿cómo se modela el movimiento o el cambio en general? Para Zenón y la escuela de Elea el problema resultó tan complejo que resolvieron negar la existencia del movimiento y del cambio.  El segundo, ¿cómo se calcula el área de una figura limitada por curvas? Las soluciones de estos dos problemas están íntimamente ligadas, como se reconoció en el siglo XVII, y tienen que ver con una comprensión del continuo, es decir, de la recta de números reales.  Entonces, otra pregunta importante de este curso que no lograremos responder completamente, dejándola para cursos más avanzados, es ¿qué es el continuo? La respuesta a esta pregunta es tan compleja que la humanidad no llegó a comprenderla bien hasta la segunda mitad del siglo XIX. Arriba

Niveles:

El curso se dicta en dos niveles:

·         Cálculo DiferencialMATE-1203B es el curso normal para el estudiante promedio.

·         Cálculo Diferencial (Honores) MATE-1204B está reservado para estudiantes que quieren tratar los temas con más profundidad y experimentar una mayor competitividad con sus compañeros.

El contenido en los dos niveles es el mismo y al concluir se espera que todos logren aprobar el mismo examen final. Arriba 

Objetivos:

A través del curso, el estudiante deberá:

·         Repasar, afianzar o aprender algunos de los conceptos fundamentales necesarios para el cálculo.

·         Comprender los conceptos y herramientas del cálculo diferencial y relacionarlos unos con otros y con el álgebra y la geometría analítica, para poder aplicarlos en la solución de problemas de diferentes disciplinas como física, ingeniería, economía y biología.

·         Comprender la definición de integral indefinida como antiderivada y de la integral definida como “área algebraica” debajo de una curva que se puede calcular como límite de una sumatoria. Relacionar estos dos conceptos a través del Teorema Fundamental del Cálculo y comprender las propiedades que se derivan de ellos así como su cómputo más elemental.

·         Desarrollar una estructura lógica de pensamiento para aplicarla en la resolución de problemas de su disciplina y para poder comunicarse de manera coherente en forma oral y escrita.

·         Afianzar una metodología de estudio eficiente y una disciplina de trabajo que le permita ser autodidacta. Arriba 

Contenidos:

1. Funciones y sus gráficas

    Durante el siglo 17, a partir del estudio del movimiento de cuerpos, surgió el concepto de función o relación entre variables. Este concepto fue central para prácticamente todos los descubrimientos matemáticos efectuados en los siguientes 300 años y especialmente para el desarrollo del cálculo. La terminología fue evolucionando, desde las descripciones de Galileo, como "el espacio descrito por un cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido", a la fórmula s=kt2 y luego a las notaciones abstractas fx de Juan Bernoulli (1718) y f(x) de Euler, introducida en 1734.
   
Casi todas las funciones estudiadas durante el siglo 17 se analizaron primero como curvas, muchas veces como la línea descrita por un punto en movimiento continuo. En esos mismos años, Descartes y Fermat mostraron la equivalencia entre la curva y su formulación algebraica, al desarrollar la geometría analítica.

2. Límites y Razones de Cambio

    Uno de los intereses principales en el estudio del movimiento de cuerpos fue el de comprender y calcular la velocidad y la aceleración instantáneas de un cuerpo. La dificultad principal estaba en aquellos movimientos en los cuales la velocidad y la aceleración variaban de instante en instante. La aceleración era un concepto novedoso. Se definía como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo, para un instante dado.
   
Inicialmente, la concepción de razón de cambio instantáneo fue bastante confusa. Poco a poco se vio la necesidad de precisar la noción de límite que yacía detrás del concepto de razón de cambio. Pero la definición precisa de límite demoró mucho en formularse.

3. Derivadas

    El problema del cálculo de razones de cambio es precisamente el de calcular la derivada de una función. Este problema, como ya se ha dicho fue trabajado por Galileo, Fermat, Descartes y muchos más. Finalmente, Newton y Leibniz desarrollaron, independientemente, un método para calcular derivadas de una manera más mecánica, sin tener una idea precisa de lo que eran. La interpretación geométrica del problema era: encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. El método se reduce a las reglas de derivación que se dan en cualquier curso de cálculo hoy día.

4. Optimización y gráficas

    Uno de los primeros problemas de máximos y mínimos resuelto con las técnicas del cálculo se le atribuye a Kepler. Se trataba de encontrar las dimensiones del barril de vino, de una capacidad dada, que requiriera el mínimo de materiales. Esta preocupación por economizar y optimizar está aún más presente en nuestros tiempos. En el siglo 18 un grupo de matemáticos percibió esta preocupación en la naturaleza. Según Euler, "nada sucede en el universo que no cumpla alguna ley de máximos o mínimos." Interpretando el problema geométricamente, se trata de encontrar los puntos más altos o más bajos de la gráfica que interpreta el fenómeno; puntos donde muy frecuentemente se tiene una tangente horizontal.

5. Áreas e integrales

    El cálculo de áreas data de las antiguas civilizaciones de Mesopotamia y Egipto con sus mediciones de tierras. Los griegos luego lo convirtieron en una verdadera ciencia. Ya para el siglo IV antes de Cristo, Eudoxo había descubierto un método para calcular, con precisión, áreas de regiones limitadas por curvas, método que fue perfeccionado por Euclides y Arquímedes. En el siglo XVII se comprendió que el problema de calcular áreas era inverso al problema de encontrar tangentes, pero sólo en el siglo XIX se estableció una demostración rigurosa de esta relación que hoy conocemos como el Teorema Fundamental del Cálculo. Arriba 

Metodología:

  • En casa, los estudiantes deben leer la teoría de un texto y resolver problemas referentes a la teoría, para poder discutirlos en clase.

  • Explicaciones del profesor donde la participación y las preguntas de los estudiantes son cruciales;
  • Talleres de resolución de problemas y exposiciones de estudiantes; Arriba 

Texto Guía:

    Stewart, James. Calculus Early Tanscendentals. 5a Ed. Brooks-Cole/International Thomson, 2003. Arriba 

Bibliografía adicional:

Texto de Precálculo

 

Swokowski & Cole. Precalculus: Functions and Graphs. PWS Publishing Co., 1993.

Libros con nivel semejante al del texto:

Protter y Morrey. Cálculo con Geometría Analítica. Fondo Educativo Interamericano.
Purcell, Edwin; Varberg, Dale. Calculus with Analític Geometry. 6th Ed.  Prentice Hall, 1992.
Swokowski, Earl. Cálculo con Geometría Analítica. Addison Wesley.
 
Libros con nivel un poco superior al del texto:

Spivak. Cálculo. Editorial Reverté.
Kitchen. Cálculo. McGraw-Hill.
Apostol, Tom M. Calculus. 2a Ed. Reverté, 1968.

Existen varios ejemplares de estos textos en la Biblioteca General y en la de Matemáticas.  Arriba 

Sistema Evaluativo:

El sentido de las evaluaciones es proveer al estudiante de una herramienta más de aprendizaje, al hacerlo conocer sus deficiencias y fortalezas. Esperamos que usted trabaje para alcanzar los objetivos del curso y no para lograr una nota.

  • 4 Exámenes Parciales (15% c/u)                             60%
  • Tareas, quizzes y participación                                15%
  • Examen Final                                                         25%   Arriba